मान लीजिए S_n = frac{1}{1^3} + frac{1 + 2}{1^ | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ द्वारा दिया गया है।मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_

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$199$

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(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=1}^n k^3}$ द्वारा दिया गया है।मानक सूत्रों $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}ight)^2$ का उपयोग करने पर:$T_n = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}ight)^2} = \frac{2}{n(n+1)}$.हम $T_n$ को आंशिक भिन्न के रूप में $T_n = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}ight)$ लिख सकते हैं।अब,$S_n = \sum_{k=1}^n T_k = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S_n = 2 \left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ight) = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{2n}{n+1}$.दिया गया है कि $100 S_n = n$,$S_n$ का मान रखने पर:$100 \left( \frac{2n}{n+1} ight) = n$.चूंकि $n 
eq 0$,$n$ से विभाजित करने पर:$\frac{200}{n+1} = 1 \implies n+1 = 200 \implies n = 199$.

मान लीजिए $S_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1 + 2}{1^3 + 2^3} + \frac{1 + 2 + 3}{1^3 + 2^3 + 3^3} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ है। यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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श्रेणी $\frac{3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \cdot 3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ एक समांतर श्रेणी है,तो $\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + ... + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = ...$

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

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